?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Я начну с простой задачки, предложенной bgmt. Он рассказал о ней в закрытой записи у ygam, но любезно повторил условие в моём журнале, так что я буду ссылаться на эту открытую запись.

Задачка такая. Есть два самолёта, двухмоторный и четырёхмоторный. Вероятность отказа одного мотора p одна и та же. Самолёт падает, если отказывает больше половины моторов. Какой самолёт безопаснее? Попробуйте ответить на этот вопрос "интуитивно", без всяких вычислений. Потом можете вычислить ответ (или подсмотреть в комментариях вот тут). Сравните с интуитивным ответом. Правда, получается не то? Из этого bgmt делает вывод, что у человека нет вероятностной интуиции. Я попробую обосновать интуитивные рассуждения в этой задаче, а затем сделать некоторые общие предположения о вероятностной интуиции.

Я не буду обсуждать, насколько постановка задачи соответствует реальности (в моём журнале прошла довольно оживлённая дискуссия об этом). Будем оставаться в рамках предложенной модели. Дальнейшие рассуждения похожи на рассуждения p_govorun, но чуть более аккуратны.

Пусть сначала вероятность отказа p мала. Тогда почти все самолёты долетают без аварий. Авария - редкое явление, флуктуация. Чем меньше моторов, тем более поведение каждого конкретного самолёта отклоняется от "среднего", т.е. тем больше вероятность флуктуации. Поэтому четырёхмоторные самолёты безопаснее.

Пусть теперь вероятность p велика. Тогда полёт на самолёте превращается в самоубийственный трюк: почти все самолёты разбиваются. Уже отсутствие аварии является флуктуацией. Чем меньше моторов, тем больше вероятность такой флуктуации. Поэтому двухмоторные самолёты безопаснее.

Дальше, если при малых p безопаснее четырехмоторный самолёт, а при больших - двухмоторный, то должна существовать некоторая пограничная вероятность p0 такая, что при p=p0 вероятности аварии равны. Можно представить себе несколько таких точек, но непонятно, почему разность между вероятностями аварий двух- и четырехмоторного самолёта как функция p немонотонна, поэтому интуиция подсказывает, что такая точка только одна. Разумеется, точное значение p0=1/3 таким способом получить нельзя, но ясно, что это что-то порядка 0.5. Более того, из этих рассуждений понятно, что для любого n существует величина p0(n) такая, что при p<p0(n) самолёт с 2n+2 моторами безопаснее самолёта с 2n моторами, а при p>p0(n) - наоборот. При росте n эта величина p0(n) должна стремиться к 0.5.

Насколько наши рассуждения интуитивны? Нетрудно понять, что они основаны на принципе, который я буду называть нестрогим законом больших чисел. А именно, если поведение системы зависит от большого числа повторяющихся однотипных событий, то чем больше событий, тем ближе поведение системы к среднему (точнее, тем меньше относительное отклонение от среднего поведения: абсолютное отклонение, как известно, растёт). Интуитивен ли этот принцип, для самой формулировки которого мне пришлось написать длиннющее предложение? Дело в том, что это - основной (и часто непроговариваемый) принцип науки. Мы хотим основывать наши рассуждения на повторяемых и проверяемых экспериментах; повторяемость тут равносильна нестрогому закону больших чисел. При некоторой фантазии можно утверждать, что известная фраза "Семь раз отмерь - один отрежь" тоже имеет отношение к этому принципу: она предполагает, что результаты семикратного измерения надёжнее, чем результаты однократного.

Источником интуиции является опыт (у Анри Пуанкаре есть очень интересные рассуждения, как опыт пространственных ощущений приводит к интуитивному пониманию трехмерного пространства). Источником интуитивного понимания нестрогого закона больших чисел является, очевидно, опыт обращения с сериями повторяющихся явлений. Фрэзер, говоря о ритуалах, связанных со сменой сезонов, отмечает, что для дикаря каждый день непохож на предыдущий; повторяемость сезонов требует уже некоторой рефлексии. Возможно, именно этот переход от уникальности каждого ощущения к опыту повторяющихся событий и связан с переходом от магии к науки, о котором мы говорили недавно.

Comments

( 48 comments — Leave a comment )
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 06:33 am (UTC)
При чем тут p0=1/3? Это же элементарная задача на вероятность сложного события и правила сложения вероятностей. Сложное событие "самолет упал" состоит из событий : для двухмоторного самолета - 1 двигатель отказал, 2 двигатель отказал Р=р*р; для четырехмоторного "больше половины двигателей"=3, поэтому Р=р*р*р. При любой вероятности отказа двигателя четырехмоторный самолет надежнее, что вполне можно предсказать интуитивно.
taki_net
Jan. 23rd, 2006 07:41 am (UTC)
Для 4-моторного неверно, пусть p=1/2, тогда у Вас будет 1/8, однако всего вариантов выхода из строя 16, они все равноверятны, из них 1 с 4 моторами, и 4 варианта с выходом 3 моторов (уцелел 1, 2, 3, 4). Итого 5 из 16.

(no subject) - buzhbumrlyastik - Jan. 23rd, 2006 10:36 am (UTC) - Expand
(no subject) - taki_net - Jan. 23rd, 2006 11:26 am (UTC) - Expand
(no subject) - buzhbumrlyastik - Jan. 23rd, 2006 11:46 am (UTC) - Expand
(no subject) - livius - Jan. 23rd, 2006 12:16 pm (UTC) - Expand
(no subject) - buzhbumrlyastik - Jan. 23rd, 2006 12:40 pm (UTC) - Expand
(no subject) - livius - Jan. 23rd, 2006 02:12 pm (UTC) - Expand
(no subject) - taki_net - Jan. 23rd, 2006 12:42 pm (UTC) - Expand
(no subject) - buzhbumrlyastik - Jan. 23rd, 2006 12:46 pm (UTC) - Expand
(no subject) - trushka - Jan. 23rd, 2006 05:03 pm (UTC) - Expand
livius
Jan. 23rd, 2006 08:52 am (UTC)
Вот в том-то и дело, что элементарная задачка. Но решать ее нужно правильно.
Для двухмоторного -- отказ двух двигателей: p2.
Для четырехмоторного -- отказ ровно четырех двигателей (p4) или отказ ровно трех (4p3(1-p)), итого: p4+4p3(1-p).
(no subject) - buzhbumrlyastik - Jan. 23rd, 2006 10:40 am (UTC) - Expand
(no subject) - bgmt - Jan. 23rd, 2006 11:23 am (UTC) - Expand
(no subject) - livius - Jan. 23rd, 2006 12:14 pm (UTC) - Expand
(no subject) - buzhbumrlyastik - Jan. 23rd, 2006 12:44 pm (UTC) - Expand
(no subject) - livius - Jan. 23rd, 2006 02:21 pm (UTC) - Expand
(no subject) - buzhbumrlyastik - Jan. 23rd, 2006 06:54 pm (UTC) - Expand
(no subject) - livius - Jan. 23rd, 2006 08:21 pm (UTC) - Expand
smeshnaja
Jan. 23rd, 2006 08:28 am (UTC)
извините, что влезла.
я рассуждала так:
первое, что пришло в голову - действительно, где больше моторов, тем надёжнее ес-но, а потом подумала, что по идее двухмоторный самолёт д.б. легче (представился вообще кукурузник какоё-нть... вот такие мои представления о самолётах :) ), значит шансов его приземлить после отказа половины моторов на чуть-чуть, но больше...
вот...
nullplex
Jan. 23rd, 2006 09:38 am (UTC)
я сказал 4ех моторный. потом глянул расчеты..

в данном случае все может быть гораздо хитрее: человек ПОДСОЗНАТЕЛЬНО спроецировал на задачу реальный мир (математики не в счет =) и даже не успел отдать себе в этом отчет: что в реальном мире вероятности отказа двигателей пассажирских самолетов колеблются в районе тысячных и тысячных. и человек ничего не считая (я например) - чувственно (вспышка в сознании) говорит: "на 4ех - лучше". и - вуаля - оказывается человек в целом интуитивно дал правильный ответ, приняв (неявно) предпосылку, что p - мало. так что не все так просто. наше подсознание рулит.

обычный человек не обладает способностью В ПОДСОЗНАНИИ рассматривать "пусть p мало..", "пусть p велико.."

так что =))))))))

(Anonymous)
Jan. 23rd, 2006 11:11 am (UTC)
Могут ли эти "интуитивные" соображения появиться в голове человека, не продвинутого в теории вероятностей и анализе бесконечно малых?
ИМХО это просто популяризация для "чайников", созданная специалистом.
scholar_vit
Jan. 23rd, 2006 07:19 pm (UTC)
Что такое "интуитивные" рассуждения? Вы понимаете под ними "мгновенные озарения". Я - рассуждения, где нет вычислений, и которые нормальный человек может провести в уме (нормальный - не фон Нейман и не слабоумный).
(no subject) - (Anonymous) - Jan. 23rd, 2006 08:16 pm (UTC) - Expand
(no subject) - mikev - Jan. 23rd, 2006 08:25 pm (UTC) - Expand
bgmt
Jan. 23rd, 2006 12:07 pm (UTC)
Я согласен с анонимом. И я по опыту опросов не согласен с nullplex'ом. Разные люди дают ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ответы. Это само по себе отменяет любое утверждение о наличии вероятностной интуиции.

Дальше. "Большие числа". Я знаю немало людей, для которых интуитивно миллион или миллиард или триллион - одно и то же. Много.

Дальше. Почему опыт не даёт вероятностной интуиции? Да нет, даёт кое-какую - если не менять ансамбль. (Почему кое-какую - потому что (проверьте!) невероятно силён феномен wishful thinking: отбрасывания из памяти того, что не удовлетворяет сложившейся "теории"). Но если сформулировать задачу на другом ансамбле, получается пшик. Хуже: нет интуиции, что вообще нужен ансабмль, что вероятности без ансамбля нет. (Отсюда "вероятность единичного события", как правило, понимаемого говорящим отнюдь не как вероятность на ансамбле, а как-то ... так...). И ещё хуже: подавляюшее большинство не изучавших или не читавших что-нибудь популярное просто не знают и не верят, что вероятность следующего независимого события не зависит от уже случившихся. Порасспрашивайте. На этом, собственно, и основана страсть к игре.

Я готов признать, что мой пример не самый удачный - но никто пока что не предложил лучшего, а набор комментов, по-моему, подтверждает, что и он годится.
taki_net
Jan. 23rd, 2006 12:44 pm (UTC)
Про то, что маленькие вероятности дают преимущество 4-мотороному, а большие - вероятно, 2-мотороному - мне приходило в голову до того, как я начал считать. Правда, интуиция у меня относитльно тренированная, но не на вероятностные задачи.
(no subject) - scholar_vit - Jan. 23rd, 2006 07:31 pm (UTC) - Expand
mikev
Jan. 23rd, 2006 02:37 pm (UTC)
>>вероятность следующего независимого события не зависит от уже случившихся

это если вероятности известны заранее. А если они и оцениваются по ходу дела из уже имеющихся исходов, то интуиция дает правильный ответ :)

(no subject) - bgmt - Jan. 23rd, 2006 02:44 pm (UTC) - Expand
(no subject) - mikev - Jan. 23rd, 2006 03:08 pm (UTC) - Expand
(no subject) - bgmt - Jan. 23rd, 2006 03:17 pm (UTC) - Expand
(no subject) - mikev - Jan. 23rd, 2006 03:46 pm (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Jan. 23rd, 2006 08:24 pm (UTC) - Expand
(no subject) - mikev - Jan. 23rd, 2006 08:31 pm (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Jan. 23rd, 2006 07:34 pm (UTC) - Expand
(no subject) - bgmt - Jan. 23rd, 2006 07:38 pm (UTC) - Expand
(no subject) - livius - Jan. 23rd, 2006 08:19 pm (UTC) - Expand
scholar_vit
Jan. 23rd, 2006 07:28 pm (UTC)
То, что люди дают разные ответы, говорит не об отсутствии интуиции, а об отсутствии безошибочной интуиции. Я бы сказал так: вероятностная интуиция у людей есть, но обычно слабо развита. Я согласен с taki_net, что её можно натренировать. Как гумилёвское шестое чувство.

Большие числа люди воспринимают плохо, это верно. Но это уже о другом.

Что касается вероятности без ансамбля - ну ведь колмогоровское определение (черз меру) ансамбля не требует. Другое дело, что не совсем очевидно, какое отношение имеет эта вероятность к тому, что под вероятностью подимает физик.
(no subject) - bgmt - Jan. 23rd, 2006 07:33 pm (UTC) - Expand
(no subject) - alt - Jan. 23rd, 2006 09:18 pm (UTC) - Expand
(no subject) - (Anonymous) - Jan. 24th, 2006 07:39 am (UTC) - Expand
(no subject) - trushka - Jan. 24th, 2006 12:09 am (UTC) - Expand
(Deleted comment)
(no subject) - (Anonymous) - Jan. 24th, 2006 07:45 am (UTC) - Expand
bakhtin
Jan. 23rd, 2006 07:25 pm (UTC)
Вряд ли это объяснение будет понятно незаинтересованному "чайнику". Для заинтересованного же проще перечислить все случаи и вычислить-таки эту вероятность.

Интуиция такого рода типична для людей естественно-научного склада ума. (такая качественная проверка правильности ответа, на самом деле). Для остальных такие вещи --- пустой звук.

В книжке Секея "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" (http://lib.mexmat.ru/books/136) приводится полно такого рода примеров и объяснений, как можно увязать интуицию с выкладками. Но интуиция --- это же то, что приходит в голову сразу, без выкладок, и она нас подводит иногда.

Когда мне эту загадку задали, я не мог дать ответа с ходу, потребовалась минута, чтобы написать ответ и некоторые прикидки потом вроде приведённых здесь, чтобы убедить свою интуицию, что он правильный.
agent_00f
Jan. 23rd, 2006 10:13 pm (UTC)
Я честно произвел над собой эксперимент и не считал, а только представлял :)

Сначала у меня мелькнули именно те рассуждения, что вы описываете. Но потом мне показалось, что они неверны - когда я стал представлять себе самолет, я представил отказавшей конкретную пару двигателей. (И проверяя ответ, я уже думал, что четырехмоторный лучше всегда). В том-то и беда с вероятностной интуицией - чтобы она работала, нужно уметь хорошо представлять себе много исходов одновременно :) Нужна долгая тренировка :)
polit_lytdybr
Jan. 23rd, 2006 10:52 pm (UTC)
Извините, что влезаю в чужой разговор, ноя сам некоторое время преподавал мат. стастистику :)
На мой взгляд, задача неудачно сформулирована. В реальном случае вполне очевидно, что отказы неодновременны, что события не являются независимыми и т.д. Интуиция решает другую задачу более реальную, но более сложную.
Предлагаю иной вариант. Нужно осветить комнату так, чтобы мощность освещения составляла не менее 100 Вт. У нас люстры на 200 Вт - на 2 лампочки по 100 Вт, на 4 - по 50 Вт, на 8 - по 25 Вт и т.д.
Лампочки плохие и запасных нет. При какой надежности лампочек какую люстру Вы выберете?
И, на мой взгляд, в этой задаче интуииция срабатывает. Или мне так кажется?
beth4ever
Feb. 5th, 2006 09:29 pm (UTC)
Там не ответ, а решение, по нему я не могу ничего понять.

Я бы ответила, что лучше лететь 2-моторным, потому что чем машина сложнее, тем легче она ломается.
Но в целом это совершенно неважно.
( 48 comments — Leave a comment )

Profile

knot
scholar_vit
scholar_vit

Latest Month

October 2017
S M T W T F S
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031    

Tags

Powered by LiveJournal.com
Designed by Paulina Bozek