?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Я начну с простой задачки, предложенной bgmt. Он рассказал о ней в закрытой записи у ygam, но любезно повторил условие в моём журнале, так что я буду ссылаться на эту открытую запись.

Задачка такая. Есть два самолёта, двухмоторный и четырёхмоторный. Вероятность отказа одного мотора p одна и та же. Самолёт падает, если отказывает больше половины моторов. Какой самолёт безопаснее? Попробуйте ответить на этот вопрос "интуитивно", без всяких вычислений. Потом можете вычислить ответ (или подсмотреть в комментариях вот тут). Сравните с интуитивным ответом. Правда, получается не то? Из этого bgmt делает вывод, что у человека нет вероятностной интуиции. Я попробую обосновать интуитивные рассуждения в этой задаче, а затем сделать некоторые общие предположения о вероятностной интуиции.

Я не буду обсуждать, насколько постановка задачи соответствует реальности (в моём журнале прошла довольно оживлённая дискуссия об этом). Будем оставаться в рамках предложенной модели. Дальнейшие рассуждения похожи на рассуждения p_govorun, но чуть более аккуратны.

Пусть сначала вероятность отказа p мала. Тогда почти все самолёты долетают без аварий. Авария - редкое явление, флуктуация. Чем меньше моторов, тем более поведение каждого конкретного самолёта отклоняется от "среднего", т.е. тем больше вероятность флуктуации. Поэтому четырёхмоторные самолёты безопаснее.

Пусть теперь вероятность p велика. Тогда полёт на самолёте превращается в самоубийственный трюк: почти все самолёты разбиваются. Уже отсутствие аварии является флуктуацией. Чем меньше моторов, тем больше вероятность такой флуктуации. Поэтому двухмоторные самолёты безопаснее.

Дальше, если при малых p безопаснее четырехмоторный самолёт, а при больших - двухмоторный, то должна существовать некоторая пограничная вероятность p0 такая, что при p=p0 вероятности аварии равны. Можно представить себе несколько таких точек, но непонятно, почему разность между вероятностями аварий двух- и четырехмоторного самолёта как функция p немонотонна, поэтому интуиция подсказывает, что такая точка только одна. Разумеется, точное значение p0=1/3 таким способом получить нельзя, но ясно, что это что-то порядка 0.5. Более того, из этих рассуждений понятно, что для любого n существует величина p0(n) такая, что при p<p0(n) самолёт с 2n+2 моторами безопаснее самолёта с 2n моторами, а при p>p0(n) - наоборот. При росте n эта величина p0(n) должна стремиться к 0.5.

Насколько наши рассуждения интуитивны? Нетрудно понять, что они основаны на принципе, который я буду называть нестрогим законом больших чисел. А именно, если поведение системы зависит от большого числа повторяющихся однотипных событий, то чем больше событий, тем ближе поведение системы к среднему (точнее, тем меньше относительное отклонение от среднего поведения: абсолютное отклонение, как известно, растёт). Интуитивен ли этот принцип, для самой формулировки которого мне пришлось написать длиннющее предложение? Дело в том, что это - основной (и часто непроговариваемый) принцип науки. Мы хотим основывать наши рассуждения на повторяемых и проверяемых экспериментах; повторяемость тут равносильна нестрогому закону больших чисел. При некоторой фантазии можно утверждать, что известная фраза "Семь раз отмерь - один отрежь" тоже имеет отношение к этому принципу: она предполагает, что результаты семикратного измерения надёжнее, чем результаты однократного.

Источником интуиции является опыт (у Анри Пуанкаре есть очень интересные рассуждения, как опыт пространственных ощущений приводит к интуитивному пониманию трехмерного пространства). Источником интуитивного понимания нестрогого закона больших чисел является, очевидно, опыт обращения с сериями повторяющихся явлений. Фрэзер, говоря о ритуалах, связанных со сменой сезонов, отмечает, что для дикаря каждый день непохож на предыдущий; повторяемость сезонов требует уже некоторой рефлексии. Возможно, именно этот переход от уникальности каждого ощущения к опыту повторяющихся событий и связан с переходом от магии к науки, о котором мы говорили недавно.

Comments

( 48 comments — Leave a comment )
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 06:33 am (UTC)
При чем тут p0=1/3? Это же элементарная задача на вероятность сложного события и правила сложения вероятностей. Сложное событие "самолет упал" состоит из событий : для двухмоторного самолета - 1 двигатель отказал, 2 двигатель отказал Р=р*р; для четырехмоторного "больше половины двигателей"=3, поэтому Р=р*р*р. При любой вероятности отказа двигателя четырехмоторный самолет надежнее, что вполне можно предсказать интуитивно.
taki_net
Jan. 23rd, 2006 07:41 am (UTC)
Для 4-моторного неверно, пусть p=1/2, тогда у Вас будет 1/8, однако всего вариантов выхода из строя 16, они все равноверятны, из них 1 с 4 моторами, и 4 варианта с выходом 3 моторов (уцелел 1, 2, 3, 4). Итого 5 из 16.

buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 10:36 am (UTC)
А Вы уверены, что эти исходы можно рассматривать как независимые и равновероятные?
Тогда получается, что двухмоторный самолет всегда надежнее независимо от вероятности отказа двигателя. Если все исходы равновероятны, то для двухмоторного откажет либо первый, либо второй, либо оба, либо ни один. То есть самолет падает в одном случае из четырех = 1/4 = 4/16, а четырехмоторный в 5-ти из 16-ти, 5/16 > 4/16.
taki_net
Jan. 23rd, 2006 11:26 am (UTC)
Ну да, для 1/2 4-моторный хуже, а для 1/3 поровну, при меньших 4-моторный лучше.
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 11:46 am (UTC)
Вы полагаете 16 исходов для четырехмоторного самолета равновероятными и из этого получаете вероятность падения 5/16. Так? Тогда вероятность падения самолета не зависит от вероятности отказа двигателя. Как при р=1/2, так и при р=1/3 будет 16 исходов, 5 из которых удовлетворяют условию падения.
livius
Jan. 23rd, 2006 12:16 pm (UTC)
При p=1/3 исходы не будут равновероятными
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 12:40 pm (UTC)
Так они и при р=1/2 не будут равновероятными.
livius
Jan. 23rd, 2006 02:12 pm (UTC)
Зависит от того, что понимаем под исходами. Если исход -- это состояние четырех моторов (т.е. для каждого - один из двух вариантов - работает или нет), то при p=1/2 исходы равновероятны.
taki_net
Jan. 23rd, 2006 12:42 pm (UTC)
Туше'! При p<>1/2 будет 4 исхода с НЕравными вероятностями.
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 12:46 pm (UTC)
Теперь понял, спасибо. Не до конца, правда, но глубже вникать сейчас не могу, надо книжки смотреть.
trushka
Jan. 23rd, 2006 05:03 pm (UTC)
Я тут зашёл по ссылке q_w_z, и как, хоть и недо-, но, всё-таки, шфизик, согласен с buzhbumrlyastik. А насчёт вышеизложенного, хочу возразить вот что: отказ 4-х моторов - "частный случай" откоза трёх, поэтому его не надо учитывать. Поэтому получается не 5 из 16, а, таки,4 из 16. Если это утверждение кажется не слишком обоснованным, попытаюсь с "чисто физической" стороны: любой случай отказа 4-х моторов можно представить как отказ сначала 3-х моторов, а потом (когда самолёт и так уже обречён) - отказ 4-го. Ведь "одновременность" - понятие, по крайней мере, относительное...
livius
Jan. 23rd, 2006 08:52 am (UTC)
Вот в том-то и дело, что элементарная задачка. Но решать ее нужно правильно.
Для двухмоторного -- отказ двух двигателей: p2.
Для четырехмоторного -- отказ ровно четырех двигателей (p4) или отказ ровно трех (4p3(1-p)), итого: p4+4p3(1-p).
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 10:40 am (UTC)
Вы не могли бы пояснить, откуда взялось 4p^3(1-p)?
bgmt
Jan. 23rd, 2006 11:23 am (UTC)
Ну сходите по ссылке! Там же есть решение. Или возьмите курс теории вероятностей для второго-третьего курса.
livius
Jan. 23rd, 2006 12:14 pm (UTC)
Собственно, Вам уже ответили, но я добавлю.
4p3(1-p) -- это вероятность наступления ровно трех событий в серии из 4 независимых однотипных испытаний. Отказ 3 двигателей может произойти 4 способами:
1) - - - + (первый, второй и третий двигатели отказали, четвертый работает)
2) - - + -
3) - + - -
4) + - - -
Вероятности каждого из этих исходов: p3(1-p)
Собственно, лучше учебник полистать...
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 12:44 pm (UTC)
Всё, я, кажется, понял в чем дело! Вы смешали формулу для серии испытаний из мат. статистики и формулу для одного испытания с n исходами из теории вероятностей. Я вечером посмотрю книжку и подробней отвечу.
livius
Jan. 23rd, 2006 02:21 pm (UTC)
Хорошо, пусть будет так. Вот только я ничего не смешивал. Ну, да ладно. Полистаете учебник, там и будет ясно.
Добавлю следующее: брать и перемножать вероятности "просто так" мы не имеем права. Когда перемножаем вероятности, то неявно пользуемся формулой умножения для независимых событий (т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей).
Когда Вы пишете p3 якобы в качестве вероятности отказа трех двигателей, то никакого произведения событий за этим произведением вероятностей реально не стоит. Чему соответствует это "произведение трех раз по p"? Ничему...
Если под Ak будем понимать событие, заключающееся в отказе k-го двигателя, то событие "отказало не менее трех двигателей" является суммой пяти событий:
A1A2A3A4 + A1A2A3(не A4) + A1A2(не A3)A4 + A1(не A2)A3A4 + (не A1)A2A3A4
Так как события попарно несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей. Вероятность первого из этих событий равна (по формуле произведения) p4, вероятности каждого из оставшихся четырех событий равны p3(1-p). Отсюда получаем и итог.
buzhbumrlyastik
Jan. 23rd, 2006 06:54 pm (UTC)
Теперь дошло, спасибо за исчерпывающее объяснение.
livius
Jan. 23rd, 2006 08:21 pm (UTC)
Пожалуйста! Я очень рад!
smeshnaja
Jan. 23rd, 2006 08:28 am (UTC)
извините, что влезла.
я рассуждала так:
первое, что пришло в голову - действительно, где больше моторов, тем надёжнее ес-но, а потом подумала, что по идее двухмоторный самолёт д.б. легче (представился вообще кукурузник какоё-нть... вот такие мои представления о самолётах :) ), значит шансов его приземлить после отказа половины моторов на чуть-чуть, но больше...
вот...
nullplex
Jan. 23rd, 2006 09:38 am (UTC)
я сказал 4ех моторный. потом глянул расчеты..

в данном случае все может быть гораздо хитрее: человек ПОДСОЗНАТЕЛЬНО спроецировал на задачу реальный мир (математики не в счет =) и даже не успел отдать себе в этом отчет: что в реальном мире вероятности отказа двигателей пассажирских самолетов колеблются в районе тысячных и тысячных. и человек ничего не считая (я например) - чувственно (вспышка в сознании) говорит: "на 4ех - лучше". и - вуаля - оказывается человек в целом интуитивно дал правильный ответ, приняв (неявно) предпосылку, что p - мало. так что не все так просто. наше подсознание рулит.

обычный человек не обладает способностью В ПОДСОЗНАНИИ рассматривать "пусть p мало..", "пусть p велико.."

так что =))))))))

(Anonymous)
Jan. 23rd, 2006 11:11 am (UTC)
Могут ли эти "интуитивные" соображения появиться в голове человека, не продвинутого в теории вероятностей и анализе бесконечно малых?
ИМХО это просто популяризация для "чайников", созданная специалистом.
scholar_vit
Jan. 23rd, 2006 07:19 pm (UTC)
Что такое "интуитивные" рассуждения? Вы понимаете под ними "мгновенные озарения". Я - рассуждения, где нет вычислений, и которые нормальный человек может провести в уме (нормальный - не фон Нейман и не слабоумный).
(Anonymous)
Jan. 23rd, 2006 08:16 pm (UTC)
Ага, по-моему, интуитивные выводы не являются результатом осознанной логической цепочки (с формулами или без) и они в каком-то смысле "озарения".
У человека без специальной подготовки - одна интуиция, у тренированного специалиста -- совсем другая, и часто логическую цепочку мы строим, предварительно угадав ответ :)
mikev
Jan. 23rd, 2006 08:25 pm (UTC)
это был я
bgmt
Jan. 23rd, 2006 12:07 pm (UTC)
Я согласен с анонимом. И я по опыту опросов не согласен с nullplex'ом. Разные люди дают ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ответы. Это само по себе отменяет любое утверждение о наличии вероятностной интуиции.

Дальше. "Большие числа". Я знаю немало людей, для которых интуитивно миллион или миллиард или триллион - одно и то же. Много.

Дальше. Почему опыт не даёт вероятностной интуиции? Да нет, даёт кое-какую - если не менять ансамбль. (Почему кое-какую - потому что (проверьте!) невероятно силён феномен wishful thinking: отбрасывания из памяти того, что не удовлетворяет сложившейся "теории"). Но если сформулировать задачу на другом ансамбле, получается пшик. Хуже: нет интуиции, что вообще нужен ансабмль, что вероятности без ансамбля нет. (Отсюда "вероятность единичного события", как правило, понимаемого говорящим отнюдь не как вероятность на ансамбле, а как-то ... так...). И ещё хуже: подавляюшее большинство не изучавших или не читавших что-нибудь популярное просто не знают и не верят, что вероятность следующего независимого события не зависит от уже случившихся. Порасспрашивайте. На этом, собственно, и основана страсть к игре.

Я готов признать, что мой пример не самый удачный - но никто пока что не предложил лучшего, а набор комментов, по-моему, подтверждает, что и он годится.
taki_net
Jan. 23rd, 2006 12:44 pm (UTC)
Про то, что маленькие вероятности дают преимущество 4-мотороному, а большие - вероятно, 2-мотороному - мне приходило в голову до того, как я начал считать. Правда, интуиция у меня относитльно тренированная, но не на вероятностные задачи.
scholar_vit
Jan. 23rd, 2006 07:31 pm (UTC)
скажем так: натренирована на многошаговые рассуждения
mikev
Jan. 23rd, 2006 02:37 pm (UTC)
>>вероятность следующего независимого события не зависит от уже случившихся

это если вероятности известны заранее. А если они и оцениваются по ходу дела из уже имеющихся исходов, то интуиция дает правильный ответ :)

bgmt
Jan. 23rd, 2006 02:44 pm (UTC)
Нет, ни в коем случае. Люди массово склонны считать, что если, условно говоря, красное выпало много раз подряд, чёрное стало более вероятно. Процесса оценки вероятности и применения к независимым событиям, как правило, нет - почитайте литературу об игре! Да сколько написано о "полосах удачи"!
mikev
Jan. 23rd, 2006 03:08 pm (UTC)
Ага, интуиция отказывает при игре с формализованной системой вроде рулетки. Рулетка специально так устроена, чтобы вероятности были равны и не менялись со временем. В жизни так не бывает, и это сбивает обывателя с толку.
А если брать "игру с природой" из жизни? Если я нашел грибы в каком-то месте или рыба где-то хорошо клевала, то второй раз я пойду туда же, и в этом есть смысл. Хотя до начала игры субъективные вероятности "распеделены равномерно". Ошибкой является перенос этой логики на рулетку. Так интуиция на то и интуиция, чтобы иногда ошибаться :)
bgmt
Jan. 23rd, 2006 03:17 pm (UTC)
В жизни бесчисленное число примеров независимых последовательных событий. Именно поэтому можно применять статистику, и с колоссальным успехом - особенно сейчас, когда можно анализировать базы данных и действительно определять, независимы ли события. Грибы и рыба не имеют к этому никакого отношения, тут вы занимаетесь, ходя туда каждый раз, собиранием всё увеличивающегося образца и применением утверждения, что среднее по образцу тем ближе к истинному среднему, чем больше образец. Никакой "субъективной вероятности", которую тут не определить никак разумно, тут не присутствует.
mikev
Jan. 23rd, 2006 03:46 pm (UTC)
>>собиранием всё увеличивающегося образца и применением утверждения, что среднее по образцу тем ближе к истинному среднему

Так же и игрок в рулетку собирает информацию. И когда пять раз подряд выпадает красное, он задумывается: продолжать ли верить в то, что исходы равновероятны или рулетка кривая (см. Джек Лондон)? Или крупье жульничает?
scholar_vit
Jan. 23rd, 2006 08:24 pm (UTC)
Так фишка в том, что огромное большинство делает как раз обратный вывод. Не тот, что красное более вероятно из-за особенностей рулетки или жульничества крупье, а то что на следующий раз всенепременно выпадет черное: "Ну не может же красное выпасть шесть раз подряд". Это пример ложной интуиции.
mikev
Jan. 23rd, 2006 08:31 pm (UTC)
Да, должно быть, Вы правы. Остается понять, откуда эта ложная интуиция берется. Хочется предположить, что она основана, как обычно бывает, на жизненном опыте, сформированном в других ситуациях. Но что-то не приходит в голову, какие это могли бы быть ситуации.
scholar_vit
Jan. 23rd, 2006 07:34 pm (UTC)
утверждения, что среднее по образцу тем ближе к истинному среднему, чем больше образец.

Это утверждение и есть образец вероятностной интуиции
bgmt
Jan. 23rd, 2006 07:38 pm (UTC)
Да, конечно. Вот только я всё больше вижу тех, кто тут же говорит, что пять - это много (ну, десять), кто не позволяет (интуитивно) среднему по образцу вообще флуктуировать, и кто ещё ко всему этому отбрасывает в уме всё, что "не годится".
livius
Jan. 23rd, 2006 08:19 pm (UTC)
Ну, да. Закон больших чисел в интуитивной формулировке.
scholar_vit
Jan. 23rd, 2006 07:28 pm (UTC)
То, что люди дают разные ответы, говорит не об отсутствии интуиции, а об отсутствии безошибочной интуиции. Я бы сказал так: вероятностная интуиция у людей есть, но обычно слабо развита. Я согласен с taki_net, что её можно натренировать. Как гумилёвское шестое чувство.

Большие числа люди воспринимают плохо, это верно. Но это уже о другом.

Что касается вероятности без ансамбля - ну ведь колмогоровское определение (черз меру) ансамбля не требует. Другое дело, что не совсем очевидно, какое отношение имеет эта вероятность к тому, что под вероятностью подимает физик.
bgmt
Jan. 23rd, 2006 07:33 pm (UTC)
"Другое дело, что не совсем очевидно, какое отношение имеет эта вероятность к тому, что под вероятностью подимает физик."

Hear, hear! Я, правда, подозреваю, что там тоже можно ввести понятие какого-нибудь недискретного ансамбля, но это я так, с потолка.
alt
Jan. 23rd, 2006 09:18 pm (UTC)
Я считаю некорректной постановку задачи (не о самолёте, а об интуиции). Этак можно доказать полное отсутствие всякой интуиции у человека! :-)

Некорректным я считаю предложение задачи, решение которой зависит от параметра (тем более, дробного). Естественно, при интуитивном решении люди неосознанно стремятся привлечь дополнительные данные из личного опыта. Те, кто считает авиамоторы надёжными штуками, выбирают первое решение, те же, кто считает их ненадёжными штуками, выбирают второе. И оба правильны!

Если вы не согласны - предложите пример любой интуитивно решаемой задачи сравнимой сложности, решение которой зависит от дробного параметра.
(Anonymous)
Jan. 24th, 2006 07:39 am (UTC)
По-видимому, Вам неизвестно, что вероятность - число от нуля до единицы. "Дробное", как Вы выражаетесь. Таким образом, Вы запрещаете давать любую задачу, где задана степень надёжности.
Ну да, конечно, дробным числам всего-то около 2 с половиной тысяч лет...
trushka
Jan. 24th, 2006 12:09 am (UTC)
А я считаю, что интуиция - это "аналоговое" моделирование ситуации на уровне образов, и никаких логики-слов-вычислений. Проблемы, какраз, у многих начинаются на уровне "аналогово-цифрового преобразования", т.е. при попытке выразить интуитивно понятое словами. А те, кто делает глупости (например уезжает от грозы по мокрой дороге под проливным дождём) интуицию просто не включает
(Deleted comment)
(Anonymous)
Jan. 24th, 2006 07:45 am (UTC)
ОК по этому пункту.
bakhtin
Jan. 23rd, 2006 07:25 pm (UTC)
Вряд ли это объяснение будет понятно незаинтересованному "чайнику". Для заинтересованного же проще перечислить все случаи и вычислить-таки эту вероятность.

Интуиция такого рода типична для людей естественно-научного склада ума. (такая качественная проверка правильности ответа, на самом деле). Для остальных такие вещи --- пустой звук.

В книжке Секея "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" (http://lib.mexmat.ru/books/136) приводится полно такого рода примеров и объяснений, как можно увязать интуицию с выкладками. Но интуиция --- это же то, что приходит в голову сразу, без выкладок, и она нас подводит иногда.

Когда мне эту загадку задали, я не мог дать ответа с ходу, потребовалась минута, чтобы написать ответ и некоторые прикидки потом вроде приведённых здесь, чтобы убедить свою интуицию, что он правильный.
agent_00f
Jan. 23rd, 2006 10:13 pm (UTC)
Я честно произвел над собой эксперимент и не считал, а только представлял :)

Сначала у меня мелькнули именно те рассуждения, что вы описываете. Но потом мне показалось, что они неверны - когда я стал представлять себе самолет, я представил отказавшей конкретную пару двигателей. (И проверяя ответ, я уже думал, что четырехмоторный лучше всегда). В том-то и беда с вероятностной интуицией - чтобы она работала, нужно уметь хорошо представлять себе много исходов одновременно :) Нужна долгая тренировка :)
polit_lytdybr
Jan. 23rd, 2006 10:52 pm (UTC)
Извините, что влезаю в чужой разговор, ноя сам некоторое время преподавал мат. стастистику :)
На мой взгляд, задача неудачно сформулирована. В реальном случае вполне очевидно, что отказы неодновременны, что события не являются независимыми и т.д. Интуиция решает другую задачу более реальную, но более сложную.
Предлагаю иной вариант. Нужно осветить комнату так, чтобы мощность освещения составляла не менее 100 Вт. У нас люстры на 200 Вт - на 2 лампочки по 100 Вт, на 4 - по 50 Вт, на 8 - по 25 Вт и т.д.
Лампочки плохие и запасных нет. При какой надежности лампочек какую люстру Вы выберете?
И, на мой взгляд, в этой задаче интуииция срабатывает. Или мне так кажется?
beth4ever
Feb. 5th, 2006 09:29 pm (UTC)
Там не ответ, а решение, по нему я не могу ничего понять.

Я бы ответила, что лучше лететь 2-моторным, потому что чем машина сложнее, тем легче она ломается.
Но в целом это совершенно неважно.
( 48 comments — Leave a comment )

Profile

knot
scholar_vit
scholar_vit

Latest Month

August 2017
S M T W T F S
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  

Tags

Powered by LiveJournal.com
Designed by Paulina Bozek