?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

В юности одной из моих любимых книг была "Смотри в корень!" П.В. Маковецкого (http://n-t.ru/ri/mk/sk.htm). В одной из задач (109-4) автор обсуждал, как сообщить внеземным цивилизациям (ВЦ), что мы есть и мы разумны. В итоге предлагается передавать сигнал на частоте, в π раз меньше (или больше), чем частота нейтрального водорода. Маковецкий говорит и о других константах, и делает неожиданное замечание: Например, константа e, возникшая в земной математике значительно позже (как следствие теории пределов), могла бы у ВЦ не появиться вообще, если бы ВЦ изобрела вычислительную технику раньше математического анализа (как ни странно это выглядит с нашей, антропоцентричной, точки зрения). Тогда ВЦ не нуждалась бы в понятии бесконечно малого и могла бы обойтись дискретной математикой. Автор признателен Т.А. Розету за указание на такую экзотическую возможность. Меня в свое время это крайне удивило: как это можно без матанализа? Но недавно я оказался свидетелем истории, в которой существование компьютеров поставило под сомнение полезность целого раздела математики - правда, не анализа, но раздела столь же почтенного.

В результате управленческой накладки два инженера, работавших в одной компании, но в разных городах (даже на разных побережьях США) получили одно и то же задание. Встретившись на совещании, они обнаружили, что занимались одной проблемой, и сравнили результаты. Задача была вот какой. Многие приемники GPS сообщают не только координаты, но и предполагаемую ошибку: "Точность - 50 метров". На самом деле они упрощают ситуацию: точность зависит от направления. Бывает, что широту мы знаем хорошо, а долготу не очень. Или наоборот. Это как спутники лягут. В книжках написано, как найти ошибку вдоль заданного направления. Так вот, нужно было для некоторой конфигурации передатчиков GPS найти максимальную ошибку в каждой точке пространства.

Инженер А рассуждал так. Нарисуем, где может оказаться наблюдатель в результате ошибки. Если бы во всех направлениях ошибка была одинакова, получился бы кружок. А если она разная - получится другая фигура. Можно доказать, что фигура эта - эллипс, повернутый на некоторый угол. Тогда максимальная ошибка - это большая полуось эллипса. В математике хорошо известно, как найти параметры произвольного эллипса - это называется приведением к главным осям. Довольно простая операция. Так что решение такое: разобьем пространство на квадратики, в каждом квадратике вычислим полуоси эллипса ошибки и построим график.

Инженер Б про эллипсы и приведение к осям задумываться не стал. Он сказал: "Ошибка зависит от направления? Прекрасно. Вычислим её вдоль 360 направлений - по одному на каждый градус. И возьмём максимум". Это он тоже проделал в каждом квадратике и тоже построил график.

Разумеется, графики получились одинаковые. Точнее, почти одинаковые - я чуть позже скажу, в чем была разница.

В старые времена инженер Б, скорее всего, не смог бы получить результаты: вычисление ошибки вдоль направления делается непросто, а повторить это 360 раз, да ещё в каждой точке... Но если есть хороший компьютер, то какая разница, считается график полминуты минуты или час? Нужно ли нанимать человека, который знает линейную алгебру, если и без этого можно обойтись? Быстрый компьютер стоит неизмеримо дешевле специалиста. Не лучше ли сэкономить на дорогих кадрах? Это законный вопрос, на который рано или поздно приходится отвечать и руководству, и самим специалистам.

Можно по-разному отвечать на этот вопрос. Но перед тем, как вы, любезный читатель, предложите свой ответ, я все-таки вытащу кролика из шляпы и расскажу, почему ответы наших героев отличались.

Инженер А знал, что Земля круглая, и использовал формулы сферической тригонометрии. Инженер Б не стал этого делать, предположив для простоты, что все происходит на плоскости. В результате часть источников GPS, которые были за горизонтом, оказались у него видны - и ошибка в соответствующих точках получилась гораздо меньше, чем на самом деле.

Разумеется, эта разница никак не связана со знанием, как привести эллипс к главным осями.

Или связана?

Comments

( 96 comments — Leave a comment )
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
vgramagin
Mar. 5th, 2008 03:32 am (UTC)
а можно ли изобрести компьютеры без соответствующей математической базы?
spamsink
Mar. 5th, 2008 03:56 am (UTC)
Да, конечно. Для электромеханических компьютеров на реле достаточно открытия электричества, электромагнетизма и булевой алгебры. Дальнейшее - дело техники и мышления в нужном направлении.

http://web.cecs.pdx.edu/~harry/Relay/

(no subject) - scholar_vit - Mar. 5th, 2008 03:58 am (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Mar. 5th, 2008 04:23 am (UTC) - Expand
(Deleted comment)
(no subject) - spamsink - Mar. 5th, 2008 04:47 am (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Mar. 5th, 2008 03:57 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 04:02 am (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Mar. 5th, 2008 04:04 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 04:11 am (UTC) - Expand
(no subject) - anohin - Mar. 5th, 2008 04:35 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 04:38 am (UTC) - Expand
(no subject) - anohin - Mar. 5th, 2008 04:44 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 04:47 am (UTC) - Expand
(no subject) - anohin - Mar. 5th, 2008 05:20 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 05:27 am (UTC) - Expand
(no subject) - anohin - Mar. 5th, 2008 05:33 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 05:37 am (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 07:51 am (UTC) - Expand
(no subject) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 12:11 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 01:05 pm (UTC) - Expand
(no subject) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 01:23 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 01:45 pm (UTC) - Expand
(no subject) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 01:57 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 02:29 pm (UTC) - Expand
(no subject) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 02:48 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 03:05 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 03:13 pm (UTC) - Expand
(no subject) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 03:29 pm (UTC) - Expand
(no subject) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 03:31 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 08:18 pm (UTC) - Expand
(no subject) - ltwood - Apr. 21st, 2008 09:47 am (UTC) - Expand
(no subject) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 01:40 pm (UTC) - Expand
в защиту Гаусса :) - vrml - Mar. 5th, 2008 01:59 pm (UTC) - Expand
Re: в защиту Гаусса :) - faceted_jacinth - Mar. 5th, 2008 02:08 pm (UTC) - Expand
Re: в защиту Гаусса :) - ltwood - Apr. 21st, 2008 09:19 am (UTC) - Expand
(no subject) - kouzdra - Mar. 5th, 2008 05:53 am (UTC) - Expand
(no subject) - andreylv - Mar. 5th, 2008 01:35 pm (UTC) - Expand
(no subject) - kouzdra - Mar. 5th, 2008 01:37 pm (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Mar. 5th, 2008 05:14 pm (UTC) - Expand
(no subject) - _qwerty - Mar. 6th, 2008 03:10 am (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Mar. 5th, 2008 04:25 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 04:29 am (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Mar. 5th, 2008 04:33 am (UTC) - Expand
(no subject) - grey_horse - Mar. 5th, 2008 04:35 am (UTC) - Expand
А то - spamsink - Mar. 5th, 2008 04:44 am (UTC) - Expand
Re: А то - grey_horse - Mar. 5th, 2008 04:46 am (UTC) - Expand
(no subject) - mi_b - Mar. 5th, 2008 09:10 am (UTC) - Expand
(no subject) - retiredwizard - Mar. 5th, 2008 08:03 pm (UTC) - Expand
lamerkhav
Mar. 5th, 2008 03:50 am (UTC)
+10
(Deleted comment)
(Anonymous)
Mar. 5th, 2008 04:59 am (UTC)
Quote:
Или то, что в 3-пространстве звук возможен, а в 2-мерном нет

А из какой математики это следует?

Quote:
тоже был бы экспериментальный факт? Анализ описывает физическую реальность.
Подождите., что-то тут с логикой не то. Во-первых, если уж мы сужаем рамки анализа и говорим только про физическую реальность, то как можно называть экспериментальным фактом двумерное пространство? Нету его такого двумерного, так что никакой не факт. И во-вторых, анализ вовсе не обязан описывать физическую реальность. В том-то его и прелесть, что он вполне хорошо описывает и нереальность. Например, я в Фотошопе Вашей фотографии могу голову узлом завязать. С помощью аналитического преобразования координат ;-). А попытайся я проделать то же в физической реальности, было бы гораздо хуже... ;-)

TOPMO3
(no subject) - akor168 - Mar. 5th, 2008 05:58 am (UTC) - Expand
karial
Mar. 5th, 2008 04:20 am (UTC)
очень интересно
задумалась, что в компьютерной технике невозможно без матана...принять идею трудно, но, похоже, так и есть - ни для машины Тьюринга, ни всего,что за ней последовало матан не нужен. Как там насчет подвода электричества? может, все-таки уравнения теплопроводности где задействованы - охлаждать-то процессор надо?
scholar_vit
Mar. 5th, 2008 03:09 pm (UTC)
Нам - надо. Можно представить себе условия жизни там, где это не проблема
(no subject) - _qwerty - Mar. 6th, 2008 02:46 am (UTC) - Expand
(Deleted comment)
rioman
Mar. 5th, 2008 04:54 am (UTC)
> В результате часть источников GPS, которые были за горизонтом, оказались у него видны

А причём тут сферическая тригонометрия?
Может, просто ошибка в модели?
anohin
Mar. 5th, 2008 05:35 am (UTC)
Хм, для модели с плоской землёй нужно или придумывать какие-то очень сложные ходы и траектории для спутников, или использовать нелинейные пространства (как в случае с распространением радиоволн используют эффективный радиус Земли).
(no subject) - rioman - Mar. 5th, 2008 07:22 am (UTC) - Expand
dmpogo
Mar. 5th, 2008 05:01 am (UTC)
Вообще, мат анализ - приближенное описание действительности.
jak40
Mar. 5th, 2008 09:37 am (UTC)
это какой действительности?!
(no subject) - dmpogo - Mar. 6th, 2008 04:49 pm (UTC) - Expand
(Deleted comment)
(Anonymous)
Mar. 5th, 2008 05:56 am (UTC)
Quote:
математик часто оказывается не нужен, точнее, нужен но на намного более сложных задачах

Ещё точнее - часто думают, что задача простая и математик не нужен. После чего долго наступают на противопехотные грабли или изобретают мучительные велосипеды, которых математик легко бы избежал. Несколько раз такое видел.

TOPMO3
(no subject) - scholar_vit - Mar. 5th, 2008 03:17 pm (UTC) - Expand
kdv2005
Mar. 5th, 2008 07:01 am (UTC)
Поучительная история, но, как мне кажется, для предлагаемых Вами выводов, пример не совсем удачен.

На мой взгляд второй инженер лучше понимал сложность задачи, чем первый.
Для нахождения местоположения наблюдателя с хорошей точностью, скажем, 10-15 метров, сферической геометрии недостаточно, вместо сферы приходится использовать геоид, для которого сам по себе вопрос о том, что такое координаты далеко нетривиален. Если же нужно еще и высоту над уровнем моря определять, то задача становится еще сложнее. Даже в океане , когда нет ни волны, ни течений нельзя считать, что поверхность воды совпадает с поверхностью геоида. Вместо этого приходится учитывать, что уровень океана располагается вдоль поверхности уровня гравитационного поля Земли, которое, из-за неоднородностей в составе Земли может весьма сильно отклоняться от "уровня моря". По крайней мере, в океане есть места, находящиеся ниже "уровня моря" на несколько метров (кажется, до пары десятков метров). Если учесть все эти вещи, то и окажется, что если бы второй инженер не принял Землю плоской, его решение было бы точнее.
jaerraeth
Mar. 5th, 2008 08:33 am (UTC)
Мест "ниже уровня моря" не только в океане, их и на суше есть.

Был во время оно крайне "веселый" случай, когда Израилю пригнали новенькие F15, что ли. Полигон в пустыне, асы взмывают в воздух, прокручивают показательную программу, переходят на бреющий... и р-раз! - на всех дисплеях "Error", программы отрубаются, в общем, пилоту крайне хреново. В Неваде тестируют-тестируют, перепроверяют-перепроверяют - температура, давление, песок, солнечная радиация... ну все нормально, никаких сбоев, а в Израиле раз за разом на таких маневрах отказы. Пока на высоте, порядок, стоит перейти на бреющий - хана.
...в конце концов вспомнил кто-то, что в Израиле полигон неподалеку от Мертвого моря. Долина на 400 м ниже уровня моря. И соответственно когда самолет на бреющем переходил через ноль...
(no subject) - kdv2005 - Mar. 5th, 2008 03:30 pm (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Mar. 5th, 2008 03:24 pm (UTC) - Expand
(no subject) - kdv2005 - Mar. 5th, 2008 03:37 pm (UTC) - Expand
kdv2005
Mar. 5th, 2008 07:09 am (UTC)
Насколько я понимаю, появление компьютеров практически уничтожило один из красивых разделов геометрии -- теорию номограмм
spamsink
Mar. 6th, 2008 11:25 pm (UTC)
Не сразу. Помнится, когда я школьником ходил на ВЦ АН, там недалеко от окошка, куда сдавать бланки на перфорацию, стоял стенд, на котором висели номограммы, построенные, естественно, на компьютере ЭВМ. Были там и такие, которые требовали и линейки, и циркуля.
freedom_of_sea
Mar. 5th, 2008 08:09 am (UTC)
2*2
умножение не нужно, все задачи на умножение можно решить прямым перебором. Единственное ограничение - нужно иметь функцию проверяющую правильность.
vladimir000
Mar. 5th, 2008 08:58 am (UTC)
Как можно сделать устойчивые к накапливающимся ошибкам схемы вычисления, не зная анализа бесконечно малых? Ну можно в теории, но на практике это как научить медведя быть рикшей для того чтобы просто самому проехать из точки А в точку Б - на спор может и можно, но намного проще сначала немного подумать:)
plakhov
Mar. 5th, 2008 10:17 am (UTC)
Что значит "как можно"? Меня в курсе вычмата как раз очень удивило то, что проверка схемы на устойчивость - это лишь некоторая эмпирика ("давайте проверим, как схема ведет себя для многочленов"), и в большинстве случаев она применяется далеко за пределами тех случаев, в которых верность этого критерия строго доказывается. Получив хотя бы пару раз неустойчивую схему и задумавшись о причинах этого явления, легко догадаться, что схему надо вначале проверять на конкретных примерах, для которых соответствующее функциональное уравнение может быть решено в явном виде. А это можно сделать и без наличия матанализа (конечно, догадаться, что конкретные примеры должны быть именно многочленами, в этом случае чуть сложнее, но не кардинально).
(no subject) - vladimir000 - Mar. 5th, 2008 10:29 am (UTC) - Expand
(no subject) - plakhov - Mar. 5th, 2008 11:09 am (UTC) - Expand
(no subject) - vladimir000 - Mar. 5th, 2008 11:22 am (UTC) - Expand
(no subject) - plakhov - Mar. 5th, 2008 11:49 am (UTC) - Expand
(no subject) - vladimir000 - Mar. 5th, 2008 12:09 pm (UTC) - Expand
(no subject) - vrml - Mar. 5th, 2008 01:25 pm (UTC) - Expand
(no subject) - ltwood - Apr. 21st, 2008 09:09 am (UTC) - Expand
taki_net
Mar. 5th, 2008 09:35 am (UTC)
Дело в том, что инженер Б. имел в подсознании физическое соображение, что зависимости в этой ситуации - гладкие. Он их позаимствовал не из анализа, а из физики, но это не меняет дела.

Физика мыслит на языке анализа, точнее, физический язык описания реальности внутренне аналитический, а не дискретный. Полно дискретных алгоритмов (и не маргинальных), в которых, например, значения в целых точках ложились в один ряд, а в близких к 1/2 - в другой.

Иными словами, либо физика продавила бы им все равно анализ (ну, может быть, с гораздо меньшей долей вычислительных теорем), либо у них не стало бы толковой физики. А стало быть - никаких GPS-приемников.
faceted_jacinth
Mar. 5th, 2008 11:54 am (UTC)
Разумеется, эта разница никак не связана со знанием, как привести эллипс к главным осями.

Или связана?
---
Интересный вопрос. Я думаю, что статистически связана, а казуально -- не совсем. Если мы возьмём кучу инженеров, не знающих линейной алгебры, то они, конечно, будут решать вторым способом и многие (если не все) словят какую-нибудь ошибку. Если же мы возьмём другую кучу инженеров, знающих линейную алгебру, то многие из них будут решать вторым способом осознанно, а не потому что иначе не умеют, и ошибки не допустят, даже наоборот, риск словить ошибку у них будет меньше, потому что вычисления проще.


Вообще у меня к математикам недавно очень сильная неприязнь возникла, на грани ненависти, когда мне нужно было выяснить, использует ли один девайс BCH в качестве контрольной суммы и, если да, то как. Поиск по интернетам дал некоторое количество чисто математических статей (хорошим примером является как раз википедийная), отличительной особенностью которых является то, что в них вообще не упоминается сам алгоритм кодирования. Что с битиками-то делать, в смысле. Математикам это неинтересно, они оставляют это в качестве самостоятельного упражнения для программистов. Им полиномы интересны, группы галуа, всё такое, а как оно должно работать -- нет, не интересно. Потом я нашёл сишный код, типа являющийся примером реализации, и вот тут-то меня торкнуло по-настоящему. Что аффтар писать не умеет и пишет настолько непонятно, что я в десять самых интересных для меня строчек таращился полчаса, прежде чем понял, что из них половина лишние, это ладно, он математик наверное, чего с него взять. И что все без исключения функции принимают ноль параметров, общаясь друг с другом через глобальные переменные типа k, n, g, gg и так далее, ну ладно, never attribute to malice... Но вот то, что в функции расшифровки автор решил вместо глобальных массивов, как в других местах, объявить локальные, да с запасом, на пару метров, так что скомпилённая с дефолтными настройками прога мгновенно валится по stack overflow -- это уже какое-то практически осознанное причинение зла, по-моему.
matholimp
Mar. 5th, 2008 01:04 pm (UTC)
Судя по содержанию поста, Вы даже не слышали о случаях катастрофической потери точности (и достоверности) в ходе машинных вычислений. Что и случилось бы со вторым из инженеров, если бы график был не эллипсом, а, например, описывался в полярных координатах функцией r=sin361φ .
scholar_vit
Mar. 5th, 2008 05:05 pm (UTC)
Катастрофическая потеря точности, говорите? Тогда я расскажу ещё одну историю про навигацию.

Одна из стандартных задач навигации: известны наблюдения за целью в некоторые моменты времени. Надо предсказать, где эта цель (это можете быть Вы, а может быть ракета супостата) будет в заданное время. Полвека для этого применяют так называемый фильтр Калмана: по сути, специальный вариант метода наименьших квадратов. И с семидесятых годов известно, что этот фильтр неустойчив: в нём как раз и происходит катастрофическая потеря точности. Примерно тогда же были разработаны несколько вариантов улучшенного фильтра, где этой потери точности нет. Подробнее это описано в классической книжке
@Book{Bierman77,
author = {Gerald J. Bierman},
title = {Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation},
publisher = {Academic Press},
year = 1977,
volume = 128,
series = {Mathematics in Science and Enineering},
address = {New York; San Francisco; London}
}
В улучшенном фильтре потери точности нет. Больше того, он быстрее "обычного" Калмана и удобнее программируется. Недостаток у него один: его сложнее объяснить и понять: там довольно хитрая матричная алгебра. Тот факт, что Бирман категорически не умел писать, делу не помогает.

Прошло тридцать лет. Написано много книг и учебников. Подготовлено несколько поколений инженеров. И подавляющее большинство из них использует "старый", неустойчивый метод. Когда ошибка накапливается, и фильтр начинает показывать позавчерашнюю погоду, его просто реинициализируют - вроде ребута компьютера с Windows.

Разговоры с инженерами, которые используют "старый" фильтр, показывает, что они либо не знают про существование улучшенных методов, либо не смогли разобраться. А индустрия развивается, и фильтры успешно ребутят время от времени.

Мне удалось настоять, чтобы в одном случае, когда от работы системы зависела безопасность людей, поставили все-таки правильный фильтр...


Edited at 2008-03-05 05:06 pm (UTC)
(no subject) - (Anonymous) - Mar. 6th, 2008 05:37 am (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Mar. 6th, 2008 10:49 pm (UTC) - Expand
Page 1 of 2
<<[1] [2] >>
( 96 comments — Leave a comment )

Profile

knot
scholar_vit
scholar_vit

Latest Month

August 2018
S M T W T F S
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 

Tags

Powered by LiveJournal.com
Designed by Paulina Bozek