July 7th, 2005

knot

Детерминизм и принцип экономии

Вообще-то я люблю это студентам рассказывать. А в дискуссии у ivanov_petrov к слову пришлось:

У принципа экономии есть очень глубокая подоплёка.

В классической механике (и теории поля, включая электродинамику Максвелла и Эйнштейновские специальную и общую теории относительности) всё можно вывести из принципа наименьшего действия. Есть некоторый функционал, который минимизируется вдоль траектории системы. Это же справедливо для классической термодинамики, только функционал чуть другой.

Причина в том, что эти теории - детерминистические. Если знать начальное состояние системы, можно предсказать её поведение. Значит, есть некая траектория, которая выделена, отличается от всех возможных траекторий тем, что реализуется именно она, а остальные -- нет. С математической точки зрения это значит, что есть некая функция, которая минимальна вдоль истинной траектории.

Как только мы вводим квантовую механику и неопределённость (или сокращённое описание в статистической физике), выделенная траектория исчезает: система может выбрать любой из множества путей. Но принцип наименьшего действия не исчезает совсем: система выбирает пути с разной вероятностью. Поэтому функционал, который определял единственную траекторию системы в детерминистической теории, теперь определяет вероятность виртуальной траектории: чем он меньше, тем больше вероятность. А детерминистическая теория становится частным случаем общей теории. Этот случай соответствует ситуации, когда всеми траекториями, кроме одной, можно пренебречь. Такая штука называется теоремой эйконала и появляется в разных обличьях в оптике, квантовой механике, статистической физике.

Сопоставление этого с ситуацией в "soft sciences" оставляется читателю в качестве упражнения.