?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Использование векторной алгебры позволяет многие задачи синтетической геометрии решать "автоматически". Вместо нетривиальных рассуждений ad hoc мы тупо пишем уравнения, упрощаем и получаем ответ. Что, возможно, и не так красиво, зато эффективно. Аналогично можно сравнить школьную алгебру и школьную арифметику образца 19 века (последнюю уже и не преподают толком в обычной школе: зачем, если все эти задачи про купцов и цыбики чая значительно упрощаются с введением иксов и игреков?).

Мне иногда кажется, что применение теоремы Байеса позволяет аналогичным образом "автоматизировать" многие задачи элементарной теории вероятностей. В качестве иллюстрации я приведу два решения одной задачи: классическое и байесовское.

Задача взята в фейсбуке Кости Кнопа; так как в комментариях уже есть ответы, я позволю себе привести тут решение - точнее, два решения.

Задача

Два мальчика (логическая задача)

Вы наверняка слыхали про вероятностную задачу "У мистера Брауна два ребенка, хотя бы один из них мальчик. Какова вероятность, что оба ребенка - мальчики". Классика. Ответ в ней 1/3, если вдруг кто позабыл. [Для дотошных и въедливых. Рассматриваются все семьи с двумя детьми, среди которых есть хотя бы один мальчик. Какую долю из них составляют семьи с двумя мальчиками?]

А теперь - намного менее известная вариация (придуманная 3-4 года назад). "У мистера Грина два ребенка. Один из них - мальчик, родившийся в среду. Какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?"

При решении этой задачи вероятность рождения детей в каждый день недели следует считать одинаковой, вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми, рождением близнецов пренебречь и т.п. В общем - чистая логика и чистый теорвер.

Прежде чем решать, попробуйте прикинуть ответ, а потом сравните свою прикидку с ответом, полученным вами в результате вычислений. Ну и поделитесь результатами прикидок, пожалуйста.

Я буду рассматривать ниже "неделю" из k дней. При k=1 мы получаем задачу про мистера Брауна, при k=7 - про мистера Грина, при k=365 - задачу "По крайней мере один из детей мистера Блю - мальчик, рожденный 1 апреля".

Классическое решение

[Spoiler (click to open)]

Подсчитаем сначала вероятность того, что в семье есть девочка.

Пусть в мальчик, родившийся в среду - старший ребенок. Тогда для второго ребенка у нас 2k вариантов (мальчик родился в понедельник, девочка родилась в понедельник, мальчик родился во вторник...), из них k - девочки. Аналогично мы имеем 2k и k вариантов для старшего ребенка, если мальчик, родившийся в среду - младший. На первый взгляд кажется, что вероятность девочки (k+k)/(2k+2k). Но на самом деле мы в знаменателе один вариант подсчитали дважды: когда в семье два мальчика, и при этом каждый родился в среду. Поэтому истинная вероятность того, что в семье есть девочка, (k+k)/(2k+2k-1) = 2k/(4k-1). Значит, вероятность того, что оба ребенка - мальчики, 1-2k/(4k-1) = (2k-1)/(4k-1). При k=1 это 1/3, при k=7 это 13/27, а в пределе при большом k получается 1/2.

Байесовское решение

Я слегка переформулирую задачу в духе байесовского подхода. У нас есть прибор, который чувствует мальчиков по запаху, но плохо. Если к прибору подходит мальчик, то лампочка прибора загорается с вероятностью 1/k (и уже не тухнет, пока ее не выключить). Когда к прибору подошли два ребенка Гринов, лампочка загорелась, но мы не успели заметить, после какого именно ребенка это произошло. Какова апостериорная вероятность того, что они оба - мальчики?

[Spoiler (click to open)]

Пусть событие M2 - то, что у Гринов два мальчика, а событие L - то, что лампочка загорелась. Тогда теорема Байеса говорит, что P(M2|L) = P(L|M2)P(M2)/P(L).

Априорная вероятность того, что оба ребенка - мальчики, P(M2)=1/4. Если известно, что ребенок - мальчик, то лампочка, когда он подойдет к прибору, не загорится с вероятностью 1-1/k, а если пол неизвестен, то с вероятностью 1-1/(2k). Отсюда P(L) = 1 - [1-1/(2k)]^2, P(L|M2) = 1 - (1-1/k)^2. После простых преобразований получаем P(L|M2) = (2k-1)/(4k-1).

Только ли мне кажется, что первое решение красивее, но второе эффективнее и в чем-то проще? И верно ли, что в преподавании теории вероятностей педагогически правильно как можно раньше вводить байесовский подход?

Comments

( 45 comments — Leave a comment )
cheeha
Jun. 16th, 2015 10:49 pm (UTC)
Мне очень нравится задачка о призе: имеются три двери (или дверцы), за одной из них спрятан приз. Вы указываете на одну из них, ведущий, который знает, где находится приз, открывает другую дверь, за которой нет приза. Вам даётся шанс изменить своё решение. Мистер Х не меняет своего решения, но легкомысленная мисс Y тут же передумала и указала на другую закрытую дверь. У кого больше шансов получить приз?
scholar_vit
Jun. 16th, 2015 10:54 pm (UTC)
Кстати, и в этой задаче байесовское решение дает ответ проще, чем классическое.

И, кстати, байесовское решение указывает на одно неявное допущение "обычного" решения, которое обычно не проговаривается - а оно важно!


Edited at 2015-06-16 11:02 pm (UTC)
(no subject) - cheeha - Jun. 17th, 2015 12:18 am (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Jun. 17th, 2015 12:21 am (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Jun. 17th, 2015 01:01 am (UTC) - Expand
(no subject) - egh0st - Jun. 16th, 2015 11:40 pm (UTC) - Expand
(no subject) - cheeha - Jun. 17th, 2015 12:15 am (UTC) - Expand
ksega
Jun. 16th, 2015 11:09 pm (UTC)
Мне кажется, в этой задачке нужна не теорема Байеса, а тот факт, что P(A|B) =P(AB) / P(B) (это конечно почти и есть теорема Байеса, но не совсем...) (во всяком случае, я так решал)
misha_b
Jun. 16th, 2015 11:19 pm (UTC)
Конечно, нужна именно условная вероятность. Вещь весьма полезная, но "неклассическим" назвать такое решение трудно.
rotozeеv - [rotozeev.net]
Jun. 16th, 2015 11:28 pm (UTC)
Один из них родился в среду, а другой может в среду, а может и нет, или _только_ один из них родился в среду, а другой- обязательно в другой день недели?
scholar_vit
Jun. 16th, 2015 11:30 pm (UTC)
По крайней мере один родился в среду. Возможно, и оба.
nighteagleowl
Jun. 16th, 2015 11:57 pm (UTC)
Возможно я плохо к ночи соображаю, но разве вероятность что в семье двое мальчиков (общее число детей тоже двое) хоть как-то зависит от даты-места-дня недели рождения первого ребёнка?!

Например, если в задаче про Грина заменить "родившейся в среду" на "родившейся под звуки флейты", то неужели нужно строить-перебирать всем возможные варианты музыкальных инструментов?!
rotozeеv - [rotozeev.net]
Jun. 17th, 2015 12:05 am (UTC)
только набрал свой длинный ответ, как ту же мысль написали
(no subject) - scholar_vit - Jun. 17th, 2015 12:06 am (UTC) - Expand
(no subject) - nighteagleowl - Jun. 17th, 2015 12:12 am (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Jun. 17th, 2015 12:16 am (UTC) - Expand
(no subject) - nighteagleowl - Jun. 17th, 2015 12:30 am (UTC) - Expand
кое-какая интуиция есть - v_phi - Jun. 17th, 2015 10:13 am (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Jun. 17th, 2015 01:45 am (UTC) - Expand
(no subject) - scholar_vit - Jun. 17th, 2015 01:49 am (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Jun. 17th, 2015 02:54 am (UTC) - Expand
(no subject) - dmpogo - Jun. 17th, 2015 02:01 am (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Jun. 17th, 2015 02:47 am (UTC) - Expand
(no subject) - dmpogo - Jun. 17th, 2015 04:25 am (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Jun. 17th, 2015 05:14 am (UTC) - Expand
(no subject) - nighteagleowl - Jun. 17th, 2015 09:59 am (UTC) - Expand
(no subject) - nighteagleowl - Jun. 17th, 2015 02:54 pm (UTC) - Expand
(no subject) - spamsink - Jun. 17th, 2015 03:19 pm (UTC) - Expand
(no subject) - nighteagleowl - Jun. 17th, 2015 03:27 pm (UTC) - Expand
rotozeеv - [rotozeev.net]
Jun. 17th, 2015 12:04 am (UTC)
И вот непонятно, в чем же смысл этой дополнительной информации о среде?

В задачке Монти-Холла про три двери и приз я представляю себе, что игрок указав в первый раз на закрытую дверь затем отвернулся и не смотрит на ведущего показывая пальцем на всю ту же дверь, что он там открывает еще ведущий не имеет значения... очевидно, что вероятность 1/3 не меняется.

А что в данной задаче? Если человек услышал начало фразы про "один из них - мальчик", а про среду прослушал. То выходит, что несмотря на то, что мальчик в любом случае родился в КАКОЙ ТО день недели (это очевидно) эта бесполезная и банальная информация все таки важна и человек даст неправильный ответ.

Далее, можно добавить, что мальчик родился зимой, в J роддоме из M возможных, последняя цифра в номере свидетельства о рождении = 8. Как эти данные меняют вероятность того, что второй - тоже мальчик, который мог родиться в любое время года, в любом роддоме и иметь любую последнюю цифру в свидетельстве о рождении?
(no subject) - efimpp - Jun. 17th, 2015 06:43 pm (UTC) - Expand
Лев Горенштейн [poxod.com]
Jun. 17th, 2015 03:11 am (UTC)
Там в ФБ у Кости появился очень симпатичный комментарий с весьма наглядной картинкой:

https://m.facebook.com/comment/replies/?ctoken=10205282849964319_10205287585762711&count=3&ft_ent_identifier=10205282849964319&gfid=AQA1ZoOBlursqe4u&refid=52

По-моему, очень хорошо иллюстрирует (и да, хоть я и понял твое объяснение, но картинкой мне вштырило больше ;-).
v_phi
Jun. 17th, 2015 10:25 am (UTC)
не открывается :(
Я когда решал представил себе картинку: двухдетные семьи распиханы по клеткам таблицы 14 на 14 с учетом пола и дня недели рождения ребенка, первого и второго.
Все клетки содержат одинаковое число семей, по 1/14^2 от общего числа.
Условием задачи выбирается объединение клеток одного столбца с клетками одной строки, причем общая клетка - это семьи с 2 "средовыми" мальчиками, так что в этом объединение всего клеток 28-1, а клеток с двумя мальчиками – 14-1. Получается, их доля 13/27, меньше 1/2.
yakov_a_jerkov
Jun. 17th, 2015 04:59 am (UTC)
Я так считал. Отличие от первой задачи в том, что у ребенка теперь два атрибута, а не один, пол и день недели.

Сколько есть вариантов двух детей с минимум одним мальчик-среда?

1-й мальчик-среда, 2-й-- любой: 2*7=14
2-й мальчик-среда, 1-й-- любой: 14
оба -- мальчик-среда: 1

Значит минимум один мальчик-среда: 14+14-1=27

Сколько есть вариантов оба мальчика с минимум одним мальчик-среда?

1-й мальчик-среда, 2-й-- любой мальчик: 7
2-й мальчик-среда, 1-й-- любой мальчик: 7
оба -- мальчик-среда: 1

Значит, оба мальчика с минимум одним мальчик-среда: 7+7-1=13.

Условная вероятность: 13/27

Прикинуть я не пытался, до того, как посчитал.

Edited at 2015-06-17 05:00 am (UTC)
kum_tykva
Aug. 8th, 2015 12:29 am (UTC)
Интересно. Мне давеча ее подкинули, и я начал тоже с комбинаторики, но вопрос был, как она получается из классической(без вторника), и сразу голова переключилась на решение в духе автора корневого поста -- объединение двух полосок будет площади 4х-х^2, квадрат "два мальчика" вырежет из него(этого объединения) "маленький крест" площадью 2х-х^2, и условная вероятность поэтому будет (2-х)/(4-х), и дальше, меняя х от единички(вообще никаких ограничений на мальчика) до нуля(безобразно уникальный мальчик), мы и получим ее изменение от трети до половины(в том числе, при одной седьмой, и наши 13/27). И "физический смысл" сразу вполне прозрачен: для не слишком редкого мальчика работает и событие "два таких сразу"(поэтому почти треть, как без ограничений), а для уникального -- вопрос сводится только к "какого пола у него сиблинг", и понятно, что половина.
Потом решил погуглить, и нашел эту ветку.
А Вы делаете комбинаторно -- почему? Как преп -- так студентам легче, или еще почему-то?
(no subject) - yakov_a_jerkov - Aug. 11th, 2015 11:47 pm (UTC) - Expand
rotozeеv - [rotozeev.net]
Jun. 17th, 2015 07:57 am (UTC)
Получается, если добавить уточнение, что _старший_ из детей - мальчик, родившийся в среду, то решение выходит тривиальным, ибо убирается "интерференция".
el_heneral
Jun. 17th, 2015 08:13 am (UTC)
Вы так однозначно пишете, что ответ в задаче про двух мальчиков 1/3, что может создасться впечатление, что парадокс Гарднера вовсе и не парадокс.
komelsky
Aug. 20th, 2015 10:52 pm (UTC)
Да, у меня сходное сомнение возникло. Студентам приходится долго объяснять почему в задаче с "один из них - мальчик" ответ 1/3, поскольку "исходно" студенты обеих детей помечают как уникальных. Их приходится приучать к мысли о том, что дети не уникальны. (И, кстати, довольно сложно придумать жизненный пример в котором утверждение "один из них - мальчик" было бы сделано в чистом виде, без дополнительной информации).

Т.е. 0.5-то как раз довольно интуитивна. Это 1/3 требует усилия, и потом возврат к "почти 1/2" можно даже воспринимать, в некотором смысле, как долгожданный роздых.
darth_vasya
Jun. 17th, 2015 05:12 pm (UTC)
> Только ли мне кажется, что первое решение красивее, но второе эффективнее и в чем-то проще? И верно ли, что в преподавании теории вероятностей педагогически правильно как можно раньше вводить байесовский подход?

Не читали E.T. Jaynes - Probability Theory: The Logic of Science? Замечательная книга. Там как раз классические результаты теории вероятностей и статистики выводятся из теоремы Байеса. Точнее, из небольшого набора простых принципов индуктивного мышления, из которых теорема Байеса выпадает практически автоматом. Джейнс постоянно (и не стесняясь в выражениях) подчёркивает, насколько проще получаются эти выводы и как они выявляют неявные предположения, используемые в "ортодоксальных" выводах.
scholar_vit
Jun. 20th, 2015 01:45 am (UTC)
Не читал - спасибо за ссылку. Любопытно, что мы пришли к схожим выводам.
(no subject) - darth_vasya - Jun. 26th, 2015 09:32 pm (UTC) - Expand
(no subject) - komelsky - Aug. 20th, 2015 10:50 pm (UTC) - Expand
( 45 comments — Leave a comment )

Profile

knot
scholar_vit
scholar_vit

Latest Month

January 2018
S M T W T F S
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031   

Tags

Powered by LiveJournal.com
Designed by Paulina Bozek