scholar_vit (scholar_vit) wrote,
scholar_vit
scholar_vit

Category:

Еще о теореме Байеса: задачка Монти Холла

В комментариях к предыдущей записи cheeha напомнила классическую задачку Монти Холла. Я хочу показать, что байесовское решение не только проще классического, но и позволяет увидеть неявное допущение в последнем.

Итак, перед нами три двери. За одной приз, две другие пусты. Вы выбираете дверь A, ведущий, который знает, где приз, показывает, что за дверью B пусто. Следует ли настаивать на A или открыть C?

Пусть A, B, C - события, которые состоят в том, что приз находится за соответствующей дверью. Пусть OB - событие, которое состоит в том, что ведущий открыл дверь B после того, как игрок выбрал дверь A. Найдем P(C|OB) (вычислить P(A|OB) можно аналогично и предоставляется читателю в качестве упражнения).

По теореме Байеса P(C|OB) = P(OB|C)P(C)/P(OB). A priori P(C)=1/3. Если приз лежит за дверью C, то ведущий обязательно выберет дверь B, поэтому P(OB|C)=1. А как вычислить P(OB)?

Очевидно, что P(OB) = P(OB|A)P(A) + P(OB|B)P(B) + P(OB|C)P(C). В этой сумме второй член равен нулю, а третий 1/3. Как быть с первым? Иначе говоря, что делает ведущий, если обе оставшиеся двери пусты?

Если ведущий подбрасывает монетку, выбирая одну из двух пустых дверей, то P(OB|A)=1/2. Тогда теорема Байеса дает P(C|OB)=2/3. Это и есть ответ, который обычно приводят.

Но что, если мы знаем, что ведущий очень ленив и стоит у двери C? Иначе говоря, мы знаем, что он всегда открывает ее, если только за ней нет приза. Это значит, что P(OB|A)=0, и P(C|OB)=1. Что понятно: если ведущий преодолел лень и пошел открывать дверь B, значит, за дверью C точно лежит приз. Аналогично если ведущий очень ленив и стоит у двери B, то P(C|OB)=1/2. Тут поучительно рассмотреть, как в этом случае меняется P(A|OB) по сравнению с априорным P(A).

Можно рассмотреть случай, когда ведущий не очень ленив, и иногда идет к другой двери без необходимости. В итоге можно доказать, что смена выбора игроком никогда не ухудшает его позиции, но может ее улучшить.

Мы видим, что байесовское решение не только проще, но и глубже "обычного".

Tags: education, science
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 19 comments