scholar_vit (scholar_vit) wrote,
scholar_vit
scholar_vit

Category:

Есть ли у человека вероятностная интуиция, или ещё раз о магии и науке

Я начну с простой задачки, предложенной bgmt. Он рассказал о ней в закрытой записи у ygam, но любезно повторил условие в моём журнале, так что я буду ссылаться на эту открытую запись.

Задачка такая. Есть два самолёта, двухмоторный и четырёхмоторный. Вероятность отказа одного мотора p одна и та же. Самолёт падает, если отказывает больше половины моторов. Какой самолёт безопаснее? Попробуйте ответить на этот вопрос "интуитивно", без всяких вычислений. Потом можете вычислить ответ (или подсмотреть в комментариях вот тут). Сравните с интуитивным ответом. Правда, получается не то? Из этого bgmt делает вывод, что у человека нет вероятностной интуиции. Я попробую обосновать интуитивные рассуждения в этой задаче, а затем сделать некоторые общие предположения о вероятностной интуиции.

Я не буду обсуждать, насколько постановка задачи соответствует реальности (в моём журнале прошла довольно оживлённая дискуссия об этом). Будем оставаться в рамках предложенной модели. Дальнейшие рассуждения похожи на рассуждения p_govorun, но чуть более аккуратны.

Пусть сначала вероятность отказа p мала. Тогда почти все самолёты долетают без аварий. Авария - редкое явление, флуктуация. Чем меньше моторов, тем более поведение каждого конкретного самолёта отклоняется от "среднего", т.е. тем больше вероятность флуктуации. Поэтому четырёхмоторные самолёты безопаснее.

Пусть теперь вероятность p велика. Тогда полёт на самолёте превращается в самоубийственный трюк: почти все самолёты разбиваются. Уже отсутствие аварии является флуктуацией. Чем меньше моторов, тем больше вероятность такой флуктуации. Поэтому двухмоторные самолёты безопаснее.

Дальше, если при малых p безопаснее четырехмоторный самолёт, а при больших - двухмоторный, то должна существовать некоторая пограничная вероятность p0 такая, что при p=p0 вероятности аварии равны. Можно представить себе несколько таких точек, но непонятно, почему разность между вероятностями аварий двух- и четырехмоторного самолёта как функция p немонотонна, поэтому интуиция подсказывает, что такая точка только одна. Разумеется, точное значение p0=1/3 таким способом получить нельзя, но ясно, что это что-то порядка 0.5. Более того, из этих рассуждений понятно, что для любого n существует величина p0(n) такая, что при p<p0(n) самолёт с 2n+2 моторами безопаснее самолёта с 2n моторами, а при p>p0(n) - наоборот. При росте n эта величина p0(n) должна стремиться к 0.5.

Насколько наши рассуждения интуитивны? Нетрудно понять, что они основаны на принципе, который я буду называть нестрогим законом больших чисел. А именно, если поведение системы зависит от большого числа повторяющихся однотипных событий, то чем больше событий, тем ближе поведение системы к среднему (точнее, тем меньше относительное отклонение от среднего поведения: абсолютное отклонение, как известно, растёт). Интуитивен ли этот принцип, для самой формулировки которого мне пришлось написать длиннющее предложение? Дело в том, что это - основной (и часто непроговариваемый) принцип науки. Мы хотим основывать наши рассуждения на повторяемых и проверяемых экспериментах; повторяемость тут равносильна нестрогому закону больших чисел. При некоторой фантазии можно утверждать, что известная фраза "Семь раз отмерь - один отрежь" тоже имеет отношение к этому принципу: она предполагает, что результаты семикратного измерения надёжнее, чем результаты однократного.

Источником интуиции является опыт (у Анри Пуанкаре есть очень интересные рассуждения, как опыт пространственных ощущений приводит к интуитивному пониманию трехмерного пространства). Источником интуитивного понимания нестрогого закона больших чисел является, очевидно, опыт обращения с сериями повторяющихся явлений. Фрэзер, говоря о ритуалах, связанных со сменой сезонов, отмечает, что для дикаря каждый день непохож на предыдущий; повторяемость сезонов требует уже некоторой рефлексии. Возможно, именно этот переход от уникальности каждого ощущения к опыту повторяющихся событий и связан с переходом от магии к науки, о котором мы говорили недавно.

Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 48 comments